Кінетична енергія

Кінетична енергія в класичній механіці [ правити | правити код ]
Випадок абсолютно твердого тіла [ правити | правити код ]
Кінетична енергія в гідродинаміки [ правити | правити код ]
Фізичний сенс кінетичної енергії [ правити | правити код ]
Співвідношення кінетичної і внутрішньої енергії [ правити | правити код ]

Кінетична енергія - скалярная функція , Що є мірою руху матеріальних точок , Що утворюють розглянуту механічну систему , І залежить тільки від мас і модулів швидкостей цих точок [1] . Робота всіх сил, що діють на матеріальну точку при її переміщенні, йде на приріст кінетичної енергії [2] . Для руху зі швидкостями значно менше швидкості світла кінетична енергія записується як

T = Σ m i v i 2 2 {\ displaystyle T = \ sum {{m_ {i} v_ {i} ^ {2}} \ over 2}} $T = Σ m i v i 2 2 {\ displaystyle T = \ sum {{m_ {i} v_ {i} ^ {2}} \ over 2}} ,$ ,

де індекс i {\ displaystyle \ i} $де індекс i {\ displaystyle \ i} нумерує матеріальні точки$ нумерує матеріальні точки. Часто виділяють кінетичну енергію поступального і обертального руху [3] . Більш строго, кінетична енергія є різниця між повною енергією системи і її енергією спокою ; таким чином, кінетична енергія - частина повної енергії , обумовлена рухом [4] . коли тіло НЕ рухається, його кінетична енергія дорівнює нулю. Можливі позначення кінетичної енергії: T {\ displaystyle T} , E k i n {\ displaystyle E_ {kin}} , K {\ displaystyle K} та інші. В системі СІ вона вимірюється в джоулях (Дж).

Вперше поняття кінетичної енергії було введено в працях Готфріда Лейбніца (1695 г.), присвячених поняттю « живої сили » [5] .

Кінетична енергія в класичній механіці [ правити | правити код ]

Випадок однієї матеріальної точки [ правити | правити код ]

За визначенням, кінетичну енергію матеріальної точки масою m {\ displaystyle m} $За визначенням, кінетичну енергію матеріальної точки масою m {\ displaystyle m} називається величина$ називається величина

T = m v 2 2 {\ displaystyle T = {{mv ^ {2}} \ over 2}} $T = m v 2 2 {\ displaystyle T = {{mv ^ {2}} \ over 2}} ,$ ,

при цьому передбачається, що швидкість точки v {\ displaystyle v} $при цьому передбачається, що швидкість точки v {\ displaystyle v} завжди значно менше швидкості світла$ завжди значно менше швидкості світла . З використанням поняття імпульсу (P → = m v → {\ displaystyle {\ vec {p}} = m {\ vec {v}}} ) Цей вислів набуде вигляду T = p 2/2 m {\ displaystyle \ T = p ^ {2} / 2m} .

Якщо F → {\ displaystyle {\ vec {F}}} $Якщо F → {\ displaystyle {\ vec {F}}} - рівнодіюча всіх сил , Прикладених до точки, вираз другого закону Ньютона запишеться як F → = m a → {\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}}$ - рівнодіюча всіх сил , Прикладених до точки, вираз другого закону Ньютона запишеться як F → = m a → {\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}} . скалярно помноживши його на переміщення матеріальної точки d s → = v → d t {\ displaystyle {\ rm {d}} {\ vec {s}} = {\ vec {v}} {\ rm {d}} t} і враховуючи, що a → = d v → / d t {\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ rm {d}} {\ vec {v}} / {\ rm {d}} t} , Причому d (v 2) / dt = d (v → ⋅ v →) / dt = 2 v → ⋅ dv → / dt {\ displaystyle {\ rm {d}} (v ^ {2}) / {\ rm {d}} t = {\ rm {d}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}) / {\ rm {d}} t = 2 {\ vec {v}} \ cdot {\ rm {d}} {\ vec {v}} / {\ rm {d}} t} , Отримаємо F → ds → = d (mv 2/2) = d T {\ displaystyle \ {\ vec {F}} {\ rm {d}} {\ vec {s}} = {\ rm {d}} (mv ^ {2} / 2) = {\ rm {d}} T} .

якщо система замкнута (Зовнішні сили відсутні) або рівнодіюча всіх сил дорівнює нулю, то що стоїть під диференціалом величина T {\ displaystyle \ T} $якщо система замкнута (Зовнішні сили відсутні) або рівнодіюча всіх сил дорівнює нулю, то що стоїть під диференціалом величина T {\ displaystyle \ T} залишається постійною, тобто кінетична енергія є інтегралом руху$ залишається постійною, тобто кінетична енергія є інтегралом руху .

Випадок абсолютно твердого тіла [ правити | правити код ]

При розгляді руху абсолютно твердого тіла його можна представити як сукупність матеріальних точок. Однак, зазвичай кінетичну енергію в такому випадку записують, використовуючи формулу Кеніга , У вигляді суми кінетичних енергій поступального руху об'єкта як цілого і обертального руху :

T = M v 2 + 2 + I ω 2 + 2. {\ Displaystyle T = {\ frac {Mv ^ {2}} {2}} + {\ frac {I \ omega ^ {2}} {2}}.}

Тут M {\ displaystyle \ M} $Тут M {\ displaystyle \ M} - маса тіла, v {\ displaystyle \ v} - швидкість центру мас , Ω → {\ displaystyle {\ vec {\ omega}}} і I {\ displaystyle I} - кутова швидкість тіла і його момент інерції щодо миттєвої осі , Що проходить через центр мас [6]$ - маса тіла, v {\ displaystyle \ v} - швидкість центру мас , Ω → {\ displaystyle {\ vec {\ omega}}} і I {\ displaystyle I} - кутова швидкість тіла і його момент інерції щодо миттєвої осі , Що проходить через центр мас [6] .

Кінетична енергія в гідродинаміки [ правити | правити код ]

В гідродинаміки замість маси матеріальної точки розглядають масу одиниці об'єму, тобто щільність рідини або газу ρ = d M / d V {\ displaystyle \ rho = {\ rm {d}} M / {\ rm {d}} V} $В гідродинаміки замість маси матеріальної точки розглядають масу одиниці об'єму, тобто щільність рідини або газу ρ = d M / d V {\ displaystyle \ rho = {\ rm {d}} M / {\ rm {d}} V}$ . Тоді кінетична енергія, яка припадає на одиницю об'єму, що рухається зі швидкістю v → {\ displaystyle {\ vec {v}}} , тобто щільність кінетичної енергії w T = d T / d V {\ displaystyle w_ {T} = {\ rm {d}} T / {\ rm {d}} V} (Дж / м3), запишеться:

w T = ρ v α v α 2, {\ displaystyle w_ {T} = \ rho {\ frac {v _ {\ alpha} v _ {\ alpha}} {2}}} $w T = ρ v α v α 2, {\ displaystyle w_ {T} = \ rho {\ frac {v _ {\ alpha} v _ {\ alpha}} {2}}}$

де по повторюваному індексом α = x, y, z {\ displaystyle {\ alpha} = x, y, z} $де по повторюваному індексом α = x, y, z {\ displaystyle {\ alpha} = x, y, z} , Що означає відповідну проекцію швидкості, передбачається підсумовування$ , Що означає відповідну проекцію швидкості, передбачається підсумовування.

оскільки в турбулентному потоці рідини або газу характеристики стану речовини (в тому числі, щільність і швидкість) схильні хаотичним пульсаціям, фізичний інтерес представляють осредненних величини. Вплив гідродинамічних флуктуацій на динаміку потоку враховується методами статистичної гідромеханіки, в якій рівняння руху, що описують поведінку середніх характеристик потоку, відповідно до методом О. Рейнольдса , Виходять шляхом усереднення рівнянь Нав'є-Стокса [7] . Якщо, в згоді з методом Рейнольдса, уявити ρ = ρ ¯ + ρ '{\ displaystyle \ \ rho = {\ overline {\ rho}} + \ rho'} оскільки в турбулентному потоці рідини або газу характеристики стану речовини (в тому числі, щільність і швидкість) схильні хаотичним пульсаціям, фізичний інтерес представляють осредненних величини , V α = v α ¯ + v α '{\ displaystyle v _ {\ alpha} = {\ overline {v _ {\ alpha}}} + v' _ {\ alpha}} , Де межа зверху - знак осреднения, а штрих - відхилення від середнього, то щільність кінетичної енергії придбає вигляд:

w T ¯ = 1 2 ρ v α v α ¯ = E s + E st + E t, {\ displaystyle {\ overline {w_ {T}}} = {\ frac {1} {2}} {\ overline { \ rho v _ {\ alpha} v _ {\ alpha}}} = E_ {s} + E_ {st} + E_ {t},} $w T ¯ = 1 2 ρ v α v α ¯ = E s + E st + E t, {\ displaystyle {\ overline {w_ {T}}} = {\ frac {1} {2}} {\ overline { \ rho v _ {\ alpha} v _ {\ alpha}}} = E_ {s} + E_ {st} + E_ {t},}$

де E s = ρ ¯ v α ¯ v α ¯ / 2 {\ displaystyle E_ {s} = {\ overline {\ rho}} \, {\ overline {v _ {\ alpha}}} \, {\ overline {v_ {\ alpha}}} / 2} $де E s = ρ ¯ v α ¯ v α ¯ / 2 {\ displaystyle E_ {s} = {\ overline {\ rho}} \, {\ overline {v _ {\ alpha}}} \, {\ overline {v_ {\ alpha}}} / 2} - щільність кінетичної енергії, пов'язаної з впорядкованим рухом рідини або газу, E t = ρ ¯ v α 'v α' ¯ / 2 + ρ 'v α' v α '¯ / 2 {\ displaystyle E_ {t} = {\ overline {\ rho}} \, {\ overline {v '_ {\ alpha} \, v' _ {\ alpha}}} / 2 + {\ overline {\ rho 'v' _ {\ alpha} v '_ { \ alpha}}} / 2} - щільність кінетичної енергії, пов'язаної з неврегульованим рухом ( «щільність кінетичної енергії турбулентності» [7] , Часто званої просто «енергією турбулентності»), а E s t = S α v α ¯ {\ displaystyle E_ {st} = S _ {\ alpha} {\ overline {v _ {\ alpha}}}} - щільність кінетичної енергії, пов'язана з турбулентним потоком речовини (S α = ρ 'v α' ¯ {\ displaystyle S _ {\ alpha} = {\ overline {\ rho 'v' _ {\ alpha}}}} - щільність флуктуаційного потоку маси, або «щільність турбулентного імпульсу»)$ - щільність кінетичної енергії, пов'язаної з впорядкованим рухом рідини або газу, E t = ρ ¯ v α 'v α' ¯ / 2 + ρ 'v α' v α '¯ / 2 {\ displaystyle E_ {t} = {\ overline {\ rho}} \, {\ overline {v '_ {\ alpha} \, v' _ {\ alpha}}} / 2 + {\ overline {\ rho 'v' _ {\ alpha} v '_ { \ alpha}}} / 2} - щільність кінетичної енергії, пов'язаної з неврегульованим рухом ( «щільність кінетичної енергії турбулентності» [7] , Часто званої просто «енергією турбулентності»), а E s t = S α v α ¯ {\ displaystyle E_ {st} = S _ {\ alpha} {\ overline {v _ {\ alpha}}}} - щільність кінетичної енергії, пов'язана з турбулентним потоком речовини (S α = ρ 'v α' ¯ {\ displaystyle S _ {\ alpha} = {\ overline {\ rho 'v' _ {\ alpha}}}} - щільність флуктуаційного потоку маси, або «щільність турбулентного імпульсу»). Ці форми кінетичної енергії рідини володіють різними трансформаційними властивостями при перетворенні Галілея : Кінетична енергія упорядкованого руху E s {\ displaystyle E_ {s}} залежить від вибору системи координат, в той час як кінетична енергія турбулентності E t {\ displaystyle E_ {t}} від нього не залежить. У цьому сенсі кінетична енергія турбулентності доповнює поняття внутрішньої енергії .

Підрозділ кінетичної енергії на впорядковану і невпорядкованих (флуктуаційну) частини залежить від вибору масштабу осреднения за обсягом або за часом. Так, наприклад, великі атмосферні вихори циклони і антициклони , Які породжують певну погоду в місці спостереження, розглядаються в метеорології як впорядкований рух атмосфери, в той час як з точки зору загальної циркуляції атмосфери і теорії клімату це - просто великі вихори, що відносяться до неупорядкованого руху атмосфери.

У квантовій механіці кінетична енергія являє собою оператор , Записувати, по аналогії з класичної записом, через імпульс, який в цьому випадку також є оператором (p ^ = - j ℏ ∇ {\ displaystyle {\ hat {p}} = - j \ hbar \ nabla} $У квантовій механіці кінетична енергія являє собою оператор , Записувати, по аналогії з класичної записом, через імпульс, який в цьому випадку також є оператором (p ^ = - j ℏ ∇ {\ displaystyle {\ hat {p}} = - j \ hbar \ nabla} , J {\ displaystyle \ j} - уявна одиниця ):$ , J {\ displaystyle \ j} - уявна одиниця ):

T ^ = p ^ 2 2 m = - ℏ 2 2 m Δ {\ displaystyle {\ hat {T}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ Delta} $T ^ = p ^ 2 2 m = - ℏ 2 2 m Δ {\ displaystyle {\ hat {T}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ Delta}$

де ℏ {\ displaystyle \ hbar} $де ℏ {\ displaystyle \ hbar} - скорочена постійна Планка , ∇ {\ displaystyle \ nabla} - оператор Набла , Δ {\ displaystyle \ Delta} - оператор Лапласа$ - скорочена постійна Планка , ∇ {\ displaystyle \ nabla} - оператор Набла , Δ {\ displaystyle \ Delta} - оператор Лапласа . Кінетична енергія в такому вигляді входить в найважливіше рівняння квантової механіки - рівняння Шредінгера [8] .

Якщо в задачі допускається рух зі швидкостями, близькими до швидкості світла , Кінетична енергія матеріальної точки визначається як

T = mc 2 1 - v 2 / c 2 - mc 2, {\ displaystyle T = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} -mc ^ {2},} $T = mc 2 1 - v 2 / c 2 - mc 2, {\ displaystyle T = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} -mc ^ {2},}$

де m {\ displaystyle \ m} $де m {\ displaystyle \ m} - маса спокою , V {\ displaystyle \ v} - швидкість руху в обраній інерціальній системі відліку, c {\ displaystyle \ c} - швидкість світла в вакуумі (m c 2 {\ displaystyle mc ^ {2}} - енергія спокою )$ - маса спокою , V {\ displaystyle \ v} - швидкість руху в обраній інерціальній системі відліку, c {\ displaystyle \ c} - швидкість світла в вакуумі (m c 2 {\ displaystyle mc ^ {2}} - енергія спокою ). Як і в класичному випадку, має місце співвідношення F → ds → = d T {\ displaystyle \ {\ vec {F}} {\ rm {d}} {\ vec {s}} = {\ rm {d}} T } , Що отримується за допомогою множення на d s → = v → d t {\ displaystyle {\ rm {d}} {\ vec {s}} = {\ vec {v}} {\ rm {d}} t} вираження другого закону Ньютона (у вигляді F → = m ⋅ d (v → / 1 - v 2 / c 2) / dt {\ displaystyle \ {\ vec {F}} = m \ cdot {\ rm {d}} ( {\ vec {v}} / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}) / {\ rm {d}} t} ).

При швидкостях, багато менших швидкості світла (v «c {\ displaystyle v \ ll c} $При швидкостях, багато менших швидкості світла (v «c {\ displaystyle v \ ll c} ) Маємо 1 - v 2 / c 2 ≈ 1 - v 2/2 c 2 {\ displaystyle {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}} \ approx 1-v ^ {2} / 2c ^ {2}} і вираз для T {\ displaystyle \ T} переходить в класичну формулу T = 1/2 ⋅ m v 2 {\ displaystyle \ T = 1/2 \ cdot mv ^ {2}}$ ) Маємо 1 - v 2 / c 2 ≈ 1 - v 2/2 c 2 {\ displaystyle {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}} \ approx 1-v ^ {2} / 2c ^ {2}} і вираз для T {\ displaystyle \ T} переходить в класичну формулу T = 1/2 ⋅ m v 2 {\ displaystyle \ T = 1/2 \ cdot mv ^ {2}} .

Адитивність. Це властивість означає, що кінетична енергія механічної системи, що складається з матеріальних точок, дорівнює сумі кінетичних енергій всіх матеріальних точок, що входять в систему [1] .
Інваріантність по відношенню до повороту системи відліку. Кінетична енергія не залежить від положення точки, напрямки її швидкості і залежить лише від модуля швидкості або, що те ж саме, від квадрата її швидкості [1] .
Неінваріантни по відношенню до зміни системи відліку в загальному випадку. Це ясно з визначення, так як швидкість зазнає зміна при переході від однієї системи відліку до іншої.
Збереження. Кінетична енергія не змінюється при взаємодіях, що змінюють лише механічні характеристики системи. Це властивість інваріантної по відношенню до перетворень Галілея [1] . Властивості збереження кінетичної енергії і другого закону Ньютона достатньо, щоб вивести математичну формулу кінетичної енергії [9] [10] .

Фізичний сенс кінетичної енергії [ правити | правити код ]

Робота всіх сил, що діють на матеріальну точку при її переміщенні, йде на приріст кінетичної енергії [2] :

A 12 = T 2 - T 1. {\ Displaystyle \ A_ {12} = T_ {2} -T_ {1}.}

Це рівність актуально як для класичної, так і для релятивістської механіки (виходить інтегруванням виразу F → ds → = d T {\ displaystyle \ {\ vec {F}} {\ rm {d}} {\ vec {s}} = { \ rm {d}} T} $Це рівність актуально як для класичної, так і для релятивістської механіки (виходить інтегруванням виразу F → ds → = d T {\ displaystyle \ {\ vec {F}} {\ rm {d}} {\ vec {s}} = { \ rm {d}} T} між станами 1 і 2)$ між станами 1 і 2).

Співвідношення кінетичної і внутрішньої енергії [ правити | правити код ]

Кінетична енергія залежить від того, з яких позицій розглядається система. Якщо розглядати макроскопічний об'єкт (наприклад, тверде тіло видимих розмірів) як єдине ціле, можна говорити про таку форму енергії, як внутрішня енергія . Кінетична енергія в цьому випадку з'являється лише тоді, коли тіло рухається як ціле.

Те ж тіло, що розглядається з мікроскопічної точки зору, складається з атомів і молекул , І внутрішня енергія обумовлена рухом атомів і молекул і розглядається як наслідок теплового руху цих частинок, а абсолютна температура тіла прямо пропорційна середньої кінетичної енергії такого руху атомів і молекул. Коефіцієнт пропорційності - постійна Больцмана .

↑ 1 2 3 4 Айзерман, 1980 , С. 49.
↑ 1 2 Сивухин Д. В. § 22. Робота і кінетична енергія. // Загальний курс фізики. - М.: наука , 1979. - Т. I. Механіка. - С. 131. - 520 с.
↑ Тарг С. М. Кінетична енергія // фізична енциклопедія : [В 5 т.] / Гол. ред. А. М. Прохоров . - М.: Радянська енциклопедія, 1990. - Т. 2: Добротність - Магнітооптика. - С. 360. - 704 с. - 100 000 прим. - ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Батигін В. В., Топтигин І. Н. 3.2. Кінематика релятивістських частинок // Сучасна електродинаміка, частина 1. Мікроскопічна теорія. - Москва-Іжевськ: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002. - С. 238. - 736 с. - 1000 екз. - ISBN 5-93972-164-8 .
↑ Мах Е. Механіка. Історико-критичний нарис її розвитку. - Іжевськ: «РГД», 2000. - С. 252. - 456 с. - ISBN 5-89806-023-5 .
↑ Голубєва О. В. Теоретична механіка . - М .: «Вища школа», 1968. - С. 243-245.
↑ 1 2 Монін А. С. , Яглом А. М. Статистична гідромеханіки. Частина 1. - М.: Наука, 1965. - 639 с.
↑ Блохинцев Д. І. Основи квантової механіки , 5-е изд. Наука, 1976. - 664 с., Див. § 26.
↑ Айзерман, 1980 , С. 54.
↑ Сорокін В. С. «Закон збереження руху і міра руху в фізиці» // УФН , 59, с. 325-362, (1956)