Плоске рух тел

У зміст

1.2.4. Плоскопаралельному (ПЛОСКА) РУХ ТІЛА

П лоскопараллельним або плоским називають рух твердого тіла, при якому всі точки тіла рухаються в площинах, паралельних деякій нерухомій площині.

Плоске рух тіл є одним з найбільш поширених в техніці. Плоске рух здійснюють тіла кочення (колеса, катки, циліндри) на прямолінійній ділянці шляху; окремі деталі механізмів, призначених для перетворення обертального руху одного тіла в поступальний або коливальний іншого; шестерні планетарних передач.

В теорії плоского руху тел доводиться кілька пропозицій.

1. Для опису плоского руху тіл досить описати рух точок одного перетину тіла площиною, паралельної нерухомою площині.

Нехай тіло переміщається паралельно нерухомою площині П1. Проведемо через тіло паралельно їй площину П2. Перетин тіла за визначенням буде переміщатися в цій площині.

Перетин тіла за визначенням буде переміщатися в цій площині

Візьмемо дві довільні точки (А і В) в перерізі і розглянемо рух відрізків, проведених з точок перпендикулярно площині П1.

При русі тіла відрізки Аа1 і ВВ1 будуть переміщатися паралельно самим собі, тобто поступально. Це означає, що всі точки відрізка Аа1 матимуть однакові траєкторії, однакові швидкості і однакові прискорення.

Те ж саме можна сказати про швидкостях і прискореннях всіх точок тіла, розташованих на відрізку ВВ1. Звідси висновок про достатність опису руху тільки точок тіла, що знаходяться в перетині тіла площиною, паралельної нерухомою площині.

2. Рух тіла може розглядатися як результат складання поступального руху і обертання тіла щодо однієї з точок тіла, званої полюсом.

Зв'яжемо з рухомої площиною перетину рухливу систему координат Аxy з початком в точці А і розглянемо рух цієї системи осей відносно нерухомої системи координат OXY. Зв'яжемо з рухомої площиною перетину рухливу систему координат Аxy з початком в точці А і розглянемо рух цієї системи осей відносно нерухомої системи координат OXY

Крапку тіла, характеристики руху якої відомі, в теорії плоского руху прийнято називати полюсом. У наведеному випадку полюсом є точка А.

За рівнянням плоского руху в будь-який момент часу можна визначити положення, швидкість і прискорення полюса і характеристики обертального руху тіла - тобто його кутову швидкість і його кутове прискорення. Визначаються і рівняння руху будь-який інший точки тіла, положення якої щодо полюса задано. Тут можливі такі два варіанти.

Тут можливі такі два варіанти

Тут вирішується стандартна в нарисної геометрії завдання переходу від однієї системи координат до іншої.

За рівнянням руху точки В можуть бути визначені траєкторія точки, її швидкість і прискорення. На практиці ж траєкторії точок тел при плоскому їх русі визначаються виключно рідко, а для визначення швидкостей і прискорень точок використовуються векторні формули, одержувані на підставі теорем про швидкостях і прискореннях точок при плоскому русі. Ці теореми і слідства з них розглянемо трохи пізніше. Доведемо попередньо третє речення - теорему такого змісту.

3. Характеристики обертального руху тіла при його

плоскому русі не залежать від вибору полюса.

За полюс можна приймати будь-яку точку тіла. Це твердження виявиться дуже корисним для вирішення всіх завдань, пов'язаних з визначенням швидкостей і прискорень точок тел при їх плоскому русі.

Формулювання теорем, за допомогою яких визначаються швидкості і прискорення точок тел при їх плоскому русі, аналогічні. Тому сформулюємо і доведемо ці теореми одну за одною.

Швидкість будь-якої точки тіла при плоскому русі дорівнює геометричній сумі швидкості полюса і швидкості в обертанні точки щодо полюса.

Прискорення будь-якої точки тіла при плоскому русі дорівнює геометричній сумі прискорення полюса і прискорення в обертанні точки щодо полюса.

Прискорення будь-якої точки тіла при плоскому русі дорівнює геометричній сумі прискорення полюса і прискорення в обертанні точки щодо полюса

Перша теорема доведена.

Для доведення теореми про прискорення точок продифференцируем за часом теорему про складання швидкостей.

Так як геометрична сума обертального і осестремітельного прискорень визначає повне прискорення т. У в її обертанні щодо полюса, можна вважати доведеною і другу теорему. Залишається тепер уважно розібратися з кожним з отриманих векторних рівностей і подумати про ефективне застосування цих рівностей і наслідків з них при вирішенні завдань. Так як геометрична сума обертального і осестремітельного прискорень визначає повне прискорення т

З теореми можна отримати кілька дуже корисних для вирішення завдань наслідків.

Слідство 1. Проекції швидкостей точок тіла при його плоскому русі на пряму, що сполучає точки, рівні.

Додамо, що слідство про рівність проекцій швидкостей точок тел на сполучає їх пряму

справедливо і при будь-яких інших видах руху твердих тіл.

Слідство 2. Різниця проекцій швидкостей точок прямолінійного відрізка АВ на перпендикуляр до АВ дорівнює швидкості в обертанні однієї точки відносно іншої.

Слідство 3. Кінці векторів швидкостей точок прямолінійного відрізка лежать на одній прямій і ділять відрізок між кінцями векторів швидкостей крайніх точок на частини в тому ж відношенні, в якому точки ділять сам відрізок.

Слідство 4. У будь-який момент непоступательного руху плоскої фігури на площині, пов'язаної з фігурою, існує точка, швидкість якої дорівнює нулю.

Крапку цю називають миттєвим центром швидкостей (прийняте скорочення - М.Ц.С.) і позначають, як правило, буквою Р.

Доказ наступне. Вектори швидкостей точок площині, пов'язаної з фігурою, визначаються векторної сумою двох векторів, один з яких однаковий для всіх точок площини, а інший залежить від положення точки на площині. Значить, на площині повинна існувати точка, де вектор швидкості в обертанні щодо полюса дорівнює за величиною, але спрямований протилежно вектору швидкості полюса. Ця точка і буде мати швидкість, рівну нулю, тобто бути миттєвим центром швидкостей.

1. При виборі в якості полюса миттєвого центру швидкостей величини і напрямки швидкостей точок тіла при його плоскому русі визначаються точно так же, як і при обертальному. Відмінністю є те, що для кожного моменту руху тіла положення миттєвої осі обертання необхідно знаходити. Необхідне відповідне знаходити і відстані точок до цієї осі.

2. Швидкості всіх точок фігури при її плоскому русі пропорційні їх відстаням до М.Ц.С. і перпендикулярні радіусів обертання - тобто відрізках, що з'єднує точки з М.Ц.С.

3. Якщо вміти визначати положення миттєвих центрів швидкостей ланок плоских механізмів, то завдання на визначення швидкостей точок і кутових швидкостей ланок цих механізмів виявляться нітрохи не складніше аналогічних завдань на обертальний рух пов'язаних між собою тел.

Всі типові випадки визначення положення М.Ц.С. відомі. В цьому відношенні випадок, розглянутий на малюнку вище, не є типовим. Кутові швидкості ланок плоских механізмів в задачах зазвичай є шуканими величинами. І визначаються вони, як правило, по відомій швидкості однієї з точок фігури і її відстані до М.Ц.С.

3. Випадки, коли вектори швидкостей точок паралельні між собою

і перпендикулярні відрізку, що з'єднує точки.

Ці випадки часто зустрічається, коли визначаються кутові швидкості тіл кочення

М.Ц.С. знаходиться на перетині лінії, що з'єднує точки, і лінії, що з'єднує кінці векторів швидкостей точок. Величини швидкостей точок в цьому випадку повинні бути відомі.

При протилежному напрямку векторів швидкостей М.Ц.С. розташований між точками, швидкості яких відомі; при однаковому напрямку - з боку меншою швидкості і на продовженні відрізка, що з'єднує точки.

Кутові швидкості тел в цьому випадку за швидкостями двох точок можуть визначатися відразу (наслідок 2) за формулами, наведеними поруч з малюнками. Знаходити відстані точок до М.Ц.С. в цьому випадку, якщо це не потрібно для визначення швидкостей будь-яких інших точок, необов'язково.

4. Випадок, коли вектори швидкостей точок паралельні між собою і не перпендикулярні

відрізку, що з'єднує точки. відрізку, що з'єднує точки У цьому випадку прийнято говорити про миттєво поступальному русі тіла. А це означає, що в даний момент руху фігури (ланки АВ).

1) кутова швидкість тіла дорівнює нулю;

2) М.Ц.С. знаходиться в нескінченності;

3) швидкості всіх точок тіла рівні між собою.

Слід додати також, що рівність швидкостей спостерігається тільки в даний момент руху тіла. Прискорення точок тіла різні.

Завдання на визначення швидкостей точок і кутових швидкостей ланок

механізмів або тел при їх плоскому русі розглянуті в главі 2.

Типові випадки визначення М.Ц.С. наведені на плакаті 13к.

1. Кінці векторів прискорень точок прямолінійного відрізка лежать на прямій, що з'єднує кінці векторів прискорень крайніх точок, і ділять відрізок прямої на частини в тому ж відношенні, в якому точки ділять сам відрізок.

Доводиться це абсолютно так само, як наслідок з попередньої теореми. Досить подивитися на малюнок і визначити прискорення будь-якої ще точки відрізка АВ.

2. У будь-який момент руху плоскої фігури (за винятком випадку її поступального руху) на площині, пов'язаної з фігурою, існує точка, прискорення якої дорівнює нулю. Крапку цю називають миттєвим центром прискорень (прийняте скорочення - М.Ц.У.) і позначають на кресленні, як правило, буквою Q.

І це положення доводиться точно так же, як і положення про існування М.Ц.С. .

Знайдемо на малюнку положення М.Ц.У. щодо прискорення полюса і характеристикам обертального руху фігури - кутової швидкості і кутового прискорення.

У зміст далі

© 2008 — 2012 offroad.net.ua . All rights reserved. by nucleart.net 2008