Матриці. Ранг матриці
Визначення 7. Якщо матриця A не нульовий, тобто існує хоча б один aij елемент матриці A, відмінний від нуля, тоді завжди можна вказати натуральне число r таке, що
- у матриці A є мінор r - го порядку, для якого
; - всякий мінор матриці A порядку r + 1 і вище дорівнює нулю, тоді число r, що має зазначеними властивостями називається рангом матриці A і позначається r = RgA.
З визначення 7 випливає, що
- ранг будь прямокутної матриці не повинен бути більше, ніж мінімальний розмір матриці. Якщо матриця квадратна, то ранг не може бути більше, ніж розмір матриці. Математично це можна виразити так r <= min (m, n).
- якщо всі елементи матриці A рівні нулю, т. е. aij = 0, то ранг цієї матриці теж буде дорівнює нулю r = RgA = 0.
Поняття рангу матриці грає дуже важливу роль при побудові графіків, при знаходженні рішення системи лінійних рівнянь, при переході від одного базису до іншого, а також широко використовується в прикладних дослідженнях, особливо при обробці результатів експерименту, виділення аномалій і кількісного визначення якості наданої для вивчення інформації . Про ці та багато інших завданнях ми будемо говорити трохи пізніше.
Визначення 8. Всякий детермінант мінору матриці A, відмінний від нуля, розмір якого дорівнює рангу цієї матриці, називається базисним мінор. Тобто іншими словами ранг матриці A це найвищий відмінний від нуля мінор.
Приклад. Знайти ранг матриці
Рішення. Так як в цій матриці тільки в одному рядку є відмінні від нуля члени, то RgA = 1.
Приклад. Знайти ранг матриці
Рішення. Для перевірки знайдемо детермінант цієї матриці: detA = 7. І так як він відрізняється від нуля, 
, Значить, ранг матриці дорівнює 3, тобто в матриці немає пропорційних рядків або стовпців. В іншому випадку detA був би рівний нулю ( "Лекція 1" , Властивість 3).
Приклад. Знайти ранг матриці
Рішення. Очевидно, що detA = 0, тому що матриця містить нульову рядок. Викреслимо перший рядок і другий стовпець і знайдемо визначник отриманого мінору
отже, робимо висновок, що RgA = 2.