Топологія ігрового поля - частина 1

Є така наука - топологія. Вона працює з "гумовими" об'єктами. Тобто всі фігури, тіла, поверхні, лінії можна як завгодно деформувати, гнути, спотворювати, розтягувати або стискати - з точки зору топології нічого мінятися не буде. Топологія - це геометрія, в якій немає місця поняттям відстань, форма, кут. Лінія не буває тут прямий або кривої - це просто лінія. Поверхня не може бути увігнутою або опуклою, або плоскою - це безглузді для топології слова. Але зате топологія розрізняє відрізок і замкнуту лінію - це для неї різні об'єкти. Квадрат, трапеція, кільцевої сектор - для неї це лише частина поверхні, обмежена замкнутою лінією, розбитою чотирма точками на чотири ребра. А ось коло, наприклад, істотно відрізняється від того ж кола, в центрі якого вирізано крихітний отвір (або не в центрі, а, навпаки, у самого краю - це не важливо, як байдуже і те, крихітне цей отвір або велике, кругле воно або витягнуте і т.д.).

Оскільки ми будемо збирати наші поверхні як в дитячому конструкторі з елементів, обмежених замкнутою лінією, то перш за все розглянемо саму лінію. Зазвичай ми будемо представляти її у вигляді кола, але оскільки в топології дозволені будь-які деформації, то скільки завгодно перекручена замкнута лінія буде також вважатися еквівалентної окружності. Найпростіше уявити цю лінію у вигляді мотузкового кільця, яке, в силу гнучкості мотузки може прийняти будь-яку форму. Більш того, у нас мотузочок може перетинати сама себе, тобто бути проникною. Таким чином, це може бути мотузяне кільце, зав'язане в як завгодно складний вузол - від цього його топологічні властивості не змінюються .. Можливі точки самопересеченія лінії не мають ніякого значення, оскільки вони можуть бути ліквідовані невеликим зсувом у просторі. Вони б мали значення, якби ми закріпили ці точки, поставивши в них вершину, тобто точку, "скріплену" з усіма вихідними з неї лініями. Але тоді ми б мали зовсім інший топологічний об'єкт.

Давайте подивимося, які поверхні можна "натягнути" на замкнуту лінію, тобто які поверхні можуть мати край у вигляді кола. Найперше, що спадає на думку, це коло. Ми звикли, що коло - це частина площини, але це також частина будь-якої іншої поверхні, наприклад сфери, циліндра, тора, конуса і т.д. (Оскільки ми допускаємо будь-яку деформацію кола). Більш того, досить мала околиця будь-який не лежачої на краю точки будь-якій поверхні, обмежена колом, буде кругом.

Візьміть аркуш паперу. Зігніть його, як завгодно, зробіть з нього літачок або кораблик. Зімніть його в грудку. Якщо ви ніде не прорвали в ньому дірок, то у всіх цих станах він залишається еквівалентним колі. Якби він був гумовим, то ви могли б ще розтягувати його в різних місцях, а якби він був проникним, то ще протягати одні частини листа через інші. І все це, поки він цілий, не змінює його суті, як кола. (Якщо ж ви все таки прорвали в колі отвір, то це буде інша поверхня, звана кільцем. Вона обмежена двома колами).

Все це розмаїття - це все той же коло. А що ж тоді ще має своїм краєм коло? Візьміть тор (бублик, велосипедну камеру, рятувальний круг) і намалюйте на його поверхні невелику окружність. Всередині неї знову буде коло. А зовні? Це теж поверхню, і вона теж обмежена окружністю. Але на круг вона зовсім не схожа: в ній є отвір (канал), і при будь-деформації цей канал не зникне. Така поверхня називається ручкою - вона схожа на ручку від гирі.

Насправді ця поверхня має два канали: один всередині "велосипедної камери", а інший зовні. Або: один канал з одного боку поверхні, а один із того. Справа в тому, що ручка, як, втім, і коло, двостороння поверхню: якщо ми почнемо її фарбувати, поставивши умову не перетинати край, то пофарбуємо тільки з одного боку, а друга сторона залишиться чистою. Таким чином, ви дізналися, що крім кола існують і інші поверхні, обмежені колом, а також те, що є на світі люди, для яких дірка від бублика має велике значення - це топологи.

У ручці вхід в канал і вихід їх нього розташовані на одній і тій же стороні кола. Чи не можна придумати таку поверхню з каналом, в якій вхід був би розташований з одного боку вихідного кола, а вихід - з іншого? Таким чином ми могли б поєднати обидві сторони кола і перетворити двосторонню поверхню в односторонню. Сказано зроблено. На малюнку ви бачите таку поверхню. Вона теж має край у вигляді замкнутої лінії, тобто кола. Те, що в деяких своїх іпостасях ця поверхня має самопересеченія, рівним рахунком нічого не означає: подібно до того, як ми усували самоперетинів у лінії, зрушуючи її в просторі на малу величину, для усунення самопересеченія поверхні досить трохи зрушити її біля лінії самопересеченія в гіперпросторі, тобто в четвертому вимірі.

Чи не правда, наша одностороння поверхню дуже нагадує шайбу Гровера, виконану з трубки і спаяні в місці торкання витків. Щоб посилити схожість, я на одному з малюнків надав їй квадратний перетин. Як і ручка, "шайба Гровера" має два канали, причому, оскільки це одностороння поверхню, обидва канали розташовані з одного боку.

Тут відразу виникає питання: якщо для двосторонньої поверхні мінімальна кількість каналів визначається числом сторін поверхні (адже створивши канал з одного боку, ми робимо те ж саме і для іншої її сторони), то чому і для односторонньої поверхні ми отримали два канали? Що нам заважає створити односторонню поверхню з одним каналом, а значить більш просту, ніж "шайба Гровера". Спробуємо стягнути в нуль один з них (той, в який в звичайній шайбі Гровера вставляється болт). Ми отримаємо якусь улиткообразно поверхню, що має один канал і одну сторону (і, звичайно, один край, оскільки це теж поверхню, що має краєм коло). Назвемо цю поверхню равликом Мебіуса.

Стоп, скаже уважний читач. Про стрічку Мебіуса я чув, щось пригадую про аркуші Мебіуса, але про равлика чую вперше. Відразу пояснимо: мова йде про одну й ту ж поверхні, просто по-різному виглядає (здається, ми до цього вже звикли). Звичайне знайомство з поверхнею Мебіуса починають з самого простого її подання у вигляді перекрученої стрічки, але тоді її край з великими труднощами представляється у вигляді кола, так він виявляється спотвореним. Але ж нам надалі ще знадобиться вклеювати цю поверхню в круглий отвір; якщо розгорнути подумки край стрічки в коло ще можна, то подумки встежити, у що ж при цьому перетвориться сама стрічка - вже практично непосильне завдання навіть для людей з дуже розвиненим просторовим уявою. А уявити, як "равлик" затикає своїм краєм круглий отвір, зможе кожен.

Але, щоб уже не повертатися до цієї теми, перейдемо до "стрічковому" поданням розглянутих поверхонь. Почнемо з ручки. Зробимо її канали приблизно однакового діаметра. Край ручки, тобто коло, деформуємо в "гантель" так, щоб головками "гантелі" вона охоплювала обидва входи в один з каналів, поєднуючи їх вузькою смужкою тіла "гантелі" між собою. А тепер плавно зігніть "гантель", наближаючи її головки один до одного так, щоб довжина каналу стала в кілька разів менше його ширини. Ми побачимо фігуру, що складається з двох зрощених один з одним кілець, розташованих перпендикулярно один до одного. Оскільки все наша перетворення не змінюють топологічних властивостей поверхні, перед нами все ще ручка. Але як вона не схожа на ручку від гирі!

Таку фігуру дуже легко склеїти з двох смужок паперу (або з однієї розгортки у вигляді хреста).

"Шайба Гровера" теж легко представляється у вигляді стрічки. Для цього з нею треба виконати майже ті ж перетворення, тобто крайову окружність деформувати до "гантелі", що охоплює головками обидва входи в канал. Потім (на відміну від ручки!) Перекрутити одну з головок "гантелі" на 180 °. А потім так само зігнути "гантель", зблизивши її головки. Отримана фігура дуже схожа на ту, яка вийшла з ручки. У неї тільки одна відмінність: одне з перпендикулярних зрощених кілець перекручено. Це сталося через те, що перед згином нам довелося перекрутити гантель. Розгортки у ручки і "шайби Гровера" однакові (у вигляді хреста), але при виготовленні "стрічкового" аналога "шайби Гровера" потрібно перед склеюванням одне з кілець перекрутити на півоберта.

Застосувавши цей же сценарій до равлику Мебіуса, тобто трохи звузивши крайову окружність в місці проходження через неї стінки "раковини", перекрутивши її до "вісімки" (до речі, на цьому етапі поверхню Мебіуса нагадує кошик з перекрученої ручкою), а потім склавши навпіл, ми отримаємо знамениту стрічку Мебіуса. Вона значно простіше інших розглянутих нами стрічкових варіантів, тому що складається всього з одного кільця. Проте, їй присвячена велика література, початківці і цілком зрілі математики не перестають захоплюватися її дивовижні властивості.

Поверхня Мебіуса виявилася напрочуд багатоликої. Тут і равлик, і стрічка, і кошик (проміжний варіант). Не можу втриматися, щоб не показати вам ще одну її іпостась - це хрестоподібна складка на площині, природно, самопересекающиеся. Сподіваюся, ви самі зможете знайти деформацію, що переводять її в один з відомих видів.

Не можна сказати, що ми розглянули всі можливі поверхні з краєм у вигляді замкнутої лінії. Наприклад, цілком можливо розмістити "на одному майданчику" дві ручки або ручку і "шайбу Гровера" (для цього, очевидно треба склеїти на якомусь ділянці їх краю, а ділянки країв, що залишилися вільними утворюють при цьому лінію, топологічно еквівалентну окружності). Ми не будемо цим займатися, тому що "Цеглинок" з яких можна будувати всілякі замкнуті поверхні нам більш ніж достатньо.

Найпростіша замкнута поверхня, це, звичайно, сфера. Якщо в сфері вирізати отвір у вигляді кола, то решта сфери буде також еквівалентна колі. Тобто, ми маємо право сказати, що сфера утворюється при склеюванні двох кіл по всій довжині їх країв. Якщо ж отвір в сфері заклеїти не Кола, а який-небудь інший з розглянутих нами поверхонь, то ми можемо отримати поверхні, відмінні від сфери, але вони теж будуть замкнутими (адже країв у них не буде).

Вклеїмо в сферу ручку. Ми отримаємо "гирю". Випустимо з неї повітря, і побачимо знайомий нам бублик, тобто тор. Це, загалом, не дивно, тому що ручка - це і є частина тора, що залишилася після вирізання з неї кола, а зараз ми просто виконали зворотну операцію: до кола (сфері з отвором) приліпили цю частину тора. Спробуємо вклеїти в сферу ручку зворотною стороною, тобто зробимо гирю "ручкою всередину". Але ні, це не нова поверхню, це все та ж гиря, тільки з товстої плескатої ручкою, відокремленої від основної маси тонюсеньким отвором (каналом), куди ледь пролазить один палець. Але розсуньте канал, стисніть ручку, і ця гиря стане неотличимой від першої.

Можна зробити в сфері кілька отворів і вклеїти в неї кілька ручок. Всі ці замкнуті поверхні відрізняються один від одного, але у них є одна загальна властивість: всі вони є двосторонніми. У топології доводиться, що взагалі всі можливі двосторонні замкнуті поверхні можна представити у вигляді сфери з будь-яким кількістю ручок.

Властивість двобічності дуже важливо. Воно означає, що поверхня розділяє простір на дві частини "всередині" і "зовні". Якщо "всередині" заповнити будь-яким речовиною, а "зовні" залишити порожнечу, то ми отримаємо тіло. У навколишньому світі немає просто поверхонь. Всі поверхні - це поверхні яких-небудь тіл, це межі, що відокремлюють одні тіла від інших. Навіть тонкі аркуші, плівки, які в якомусь наближенні ми можемо вважати подобами "чистих" поверхонь, завжди мають товщину, а значить, теж є тілами. А все поверхні тіл відносяться до двосторонніх поверхонь, тобто, представимо у вигляді сфер з ручками.

А тепер вклеїмо в сферу равлика Мебіуса. Перше, що звертає на себе увагу - це те, що ми отримали поверхню з самоперетинів. Для топології це не має значення - будемо, як і раніше, вважати, що невеликим зсувом в четвертому вимірі ми можемо усунути це самоперетинів. Але слід зазначити, що в цьому випадку ніякої деформацією в тривимірному просторі самоперетинів усунути не вдасться.

Другою особливістю вийшла поверхні є те, що через канал в равлику ми можемо зовні сфери потрапити всередину її. При всьому при цьому поверхня є замкнутою, тобто країв, отворів, розривів у цій поверхні немає. Проте, вона не відокремлює одну частину простору від іншої. Це загальна властивість всіх односторонніх замкнутих поверхонь - вони не відокремлюють частину простору і не можуть бути поверхнями тел. Напевно, тому нам, жителям тривимірного світу, так важко звикнутися з цими математичними об'єктами - поверхнями, які можуть існувати тільки "самі по собі", які можна розташувати без самоперетинів тільки в чотиривимірному просторі, які нічого ні від чого не відокремлюють і в той же час замкнуті.

У отриманої нами поверхні - гібрида сфери і стрічки Мебіуса - є ім'я. Вона називається проективної площиною. У математиці є цілий розділ, званий "проективна геометрія", який вивчає властивості фігур на проективної площині і в проектному просторі. Ми не будемо тут займатися проблемами цієї науки, відзначимо лише, що вивчається в проективної геометрії проектна площину топологічно еквівалентна розглянутої нами поверхні.

Можна запропонувати і інше уявлення проективної площині. Наприклад, якщо ми закриємо поверхню Мебіуса в вигляді "кошики" кришкою, виконаною у вигляді плівки, натягнутої на вісімку (яка є, звичайно ж, деформованим кругом), то знову отримаємо проектну площину. Вона схожа на сферу, тільки в одному місці вона як би вивертається навиворіт в двох напрямках, при цьому перетинаючи саму себе. Придивившись уважніше, ви можете дізнатися в цьому місці ту саму хрестоподібну складку, яка і є поверхню Мебіуса.

А тепер спробуємо склеїти краями дві поверхні Мебіуса. Якщо ми виконаємо це з равликами, то отримаємо досить складну на вигляд поверхня, з властивостями якої важко розібратися. Тому склеим дві однакових стрічки Мебіуса. А що там клеїти? - скажете ви, - візьмемо стрічку Мебіуса, розшарується її по всій довжині, залишивши склеєним край, і надуємо її, щоб її об'ємність була видна більш явно і отримаємо ... невже тор? Точно, тор!

Але в наведеному міркуванні криється помилка. Помилка в тому, що розщеплену стрічка Мебіуса не їсти дві суміщені краєм стрічки. Розщеплену стрічка Мебіуса - це одна стрічка, а не дві, причому вона не має нічого спільного з поверхнею Мебіуса, наприклад у неї дві сторони, а не одна. Щоб розібратися, в чому ж тут заковика, спробуйте склеїти дві однакові стрічки Мебіуса з паперу, а потім вкласти одну в іншу, щоб край совместился. Здавалося б, просте завдання, а не виходить ... Щоб домогтися суміщення, нам необхідно десь одну стрічку пропустити крізь іншу. Щоб зімітувати таке проникнення, можу порадити вам надрізати обидві стрічки до середини ширини і вставити надрізи один в інший. Після цього край поєднується без праці. Склеїмо і чуть-чуть "роздуємо" поверхню, щоб відсунути плоскі ділянки один від одного. Загалом, теж схоже на тор, тільки в одному місці він проникає сам через себе, "змінюючись" сторонами.

Така поверхня називається пляшкою Клейна. Клейн - це математик, який першим досліджував цю поверхню, а ось чому "пляшка"? Адже на пляшку це мало схоже. Ймовірно, після якоїсь деформації схожість з пляшкою стає ближче? Тут ви маєте рацію, але, перш, ніж показати вам пляшку Клейна у всій красі, спробуємо отримати ту ж поверхню, склеюючи інші "різновиди" поверхні Мебіуса.

На цей раз ми склеим дві "кошики". Лінія самопересеченія виявилася в області ручок кошиків. Поверхня знову схожа на тор, але самопересекающиеся виявилася "дірка від бублика". Перемістимо самоперетинів уздовж дірки до одного з її входів і навіть далі. Природно, за самоперетинів потягнеться і частина самої поверхні, утворюючи "горлечко" і все більше надаючи їй пляшковидний форму. І, нарешті, посунемо внутрішню самопересекающиеся частина "горлечка" в сторону, прямо крізь саме "горлечко". Ми побачимо, що самоперетинів всередині "горлечка" зникло, зате з'явилося нове в місці, де зігнута трубка "горлечка" проходить крізь "скло" пляшки, щоб вже всередині пляшки виявитися "впаяним" в її дно. Ось саме цей вид і дав пляшці Клейна її назву.

У горизонтальному перетині перетворення тора з самопересекающиеся "діркою" в пляшку виглядає так:

Пляшка Клейна, як і проективна площину, є замкнутої односторонньої поверхнею. Вона відрізняється від проективної площині своєї більшою складністю - якщо для отримання проективної площині нам знадобилася одна стрічка Мебіуса, вклеєна в сферу, то для отримання пляшки Клейна - вже дві стрічки Мебіуса (легко довести, що склеювання двох стрічок Мебіуса краєм дає той же ефект, що і вклеювання двох стрічок Мебіуса в сферу - для цього досить помістити між двома склеюваними краями тонку смужку, яка еквівалентна сфері з двома отворами). Відповідно, пляшка Клейна має 2 канали, що з'єднують її "нутро" із зовнішнім світом. У топології доводиться теорема, що всі можливі односторонні поверхні можна отримати шляхом вклеювання в сферу якоїсь кількості стрічок Мебіуса.

Дозвольте, скаже читач, а як же "шайба Гровера"? Що вийде, якщо її вклеїти в сферу? Будьте ласкаві, відповім я. Тим більше, що операція це проста. Після вклеювання ви побачите виходить зі сфери канал, який перетинає її поверхню і виходить назовні через стінку. Відсунемо вихідний отвір каналу подалі від вхідного. Ми бачимо ... знову пляшку Клейна! Таким чином, шайба Гровера виявилася еквівалентна всього лише подвоєною стрічці Мебіуса.

Але ж є ще й ручка. Що буде, якщо ми почнемо вклеювати в сферу не тільки поверхні Мебіуса, але ще і ручки? Чи не вийде який-небудь гібрид односторонніх і двосторонніх поверхонь?

Чи не Вийди. Тому що такого гібрида не буває. Поверхня може мати або одну, або дві сторони. Третього не дано. Якщо яка-небудь частина поверхні, обмежена колом, є стрічкою Мебіуса, то і вся поверхня буде односторонньою. Іншими словами, якщо ми вклеїли в сферу хоча б одну стрічку Мебіуса, то тим самим ми забезпечили її однобічність. Якщо поверхня вже одностороння, то вклеювання в неї ручки еквівалентно вклеювання двох стрічок Мебіуса. Тобто при вклеювання в односторонню поверхню ручки і шайби Гровера рівноцінні. Вони різні тільки при вклеювання в двосторонню поверхню. Це випливає хоча б з того, що єдиною відмінністю шайби Гровера від ручки є те, що перша з'єднує своїми каналами дві сторони кола, а канали другий цілком лежать кожен зі свого боку кола. Але якщо сторони вже з'єднані іншим каналом, то ця відмінність зникає.