Центр мас. Реактивний рух. Швидкість центру мас. Роль внутрішніх сил. Рівняння Мещерського. Формула Ціолковського.

Центр мас. Реактивний рух. Швидкість центру мас. Роль внутрішніх сил. Рівняння Мещерського. Формула Ціолковського.

Центр мас. Реактивний рух.

Коли ми маємо справу з системою частинок, зручно знайти таку точку - центр мас, яка характеризувала б положення і рух цієї системи як цілого. В системі з двох однакових частинок така точка, очевидно, лежить посередині між ними (рис. 110а). Це ясно з міркувань симетрії в однорідному і ізотропному просторі ця точка виділена серед всіх інших, бо для будь-якої іншої точки, розташованої ближче до однієї з частинок, знайдеться симетрична їй точка, розташована

Центр мас двох однакових часток знаходиться в точці з радіусом-вектором центр мас двох частинок з різною масою ділить відрізок між ними в відношенні, обернено пропорційному масам частинок ближче до другої частці. Очевидно, що радіус-вектор гс точки С дорівнює напівсумі радіусів-векторів однакових часток. Іншими словами, гс являє собою звичайне середнє значення векторів.

Визначення центру мас.

Як узагальнити це визначення на випадок двох частинок з різними масами. Можна очікувати, що поряд з геометричним центром системи, радіус-вектор якого як і раніше дорівнює напівсумі, буде відігравати певну роль точка, положення якої визначається розподілом см мас. Її природно визначити так, щоб внесок кожної частки був пропорційний се масі. Визначається формулою радіус-вектор центра мас являє собою середнє зважене значення радіусів-векторів частинок, що очевидно, якщо переписати у вигляді Радіус-вектор кожної частки входить в гс з вагою, пропорційним масі. Легко бачити, що визначається формулою центр мас лежить на відрізку прямої, що з'єднує частинки, і ділить його у відношенні, обернено пропорційному масам частинок. Звернемо увагу на те, що наведене тут визначення центру мас пов'язано з відомим вам умовою рівноваги важеля. Уявімо собі, що точкові маси і, на які діє однорідне поле тяжіння, з'єднані стрижнем нехтує малої маси. Такий важіль буде в рівновазі, якщо точку його опори помістити в центр мас. Природним узагальненням формули на випадок системи, що складається з матеріальних точок з масами і радіусами-векторами, є рівність яке служить визначенням радіуса-вектора центру мас (або центру інерції) системи.

Швидкість центру мас.

Центр мас характеризує не тільки положення, але і рух системи частинок як цілого. Швидкість вус центру мас, що визначається рівністю як випливає з, таким чином виражається через швидкості утворюють систему частинок. У чисельнику правої частини цього виразу, як випливає з формули попереднього параграфа, варто повний імпульс системи, а в знаменнику - її повна маса. Тому імпульс системи частинок дорівнює добутку маси всієї системи на швидкість се центру мас Формула показує, що імпульс системи пов'язаний зі швидкістю її центру мас точно так же, як імпульс окремої частки пов'язаний зі швидкістю частинки. Саме в цьому сенсі рух центру мас і характеризує рух системи як цілого.

Закон руху центру мас.

Закон зміни імпульсу системи частинок, що виражається формулою попереднього параграфа, по суті являє собою закон руху її центру мас. Справді, з при незмінній повній масі системи маємо що означає, що швидкість зміни імпульсу системи дорівнює добутку її маси на прискорення центру мас. Порівнюючи з формулою отримуємо Згідно центр мас системи рухається так, як рухалася б одна матеріальна точка маси під дією сили, яка дорівнює сумі всіх зовнішніх сил, що діють на що входять до систему частинки. Зокрема, центр мас замкнутої фізичної системи, на яку зовнішні сили не діють, рухається в інерціальній системі відліку рівномірно і прямолінійно або покоїться. Подання про центр мас в ряді випадків дозволяє отримати відповіді на деякі питання ще простіше, ніж при безпосередньому використанні закону збереження імпульсу. Розглянемо наступний приклад. Космонавт поза кораблем. Космонавт маси нерухомий щодо космічного корабля маси з вимкненим двигуном, починає підтягуватися до корабля за допомогою легкого страхувального фала. Які відстані пройдуть космонавт і корабель до зустрічі, якщо спочатку відстань між ними одно. Центр мас корабля і космонавта знаходиться на сполучає їх прямий, причому відповідні відстані обернено пропорційні масам. У далекому космосі, де зовнішні сили відсутні, центр мас цієї замкнутої системи або покоїться, або рухається з постійною швидкістю. У тій системі відліку, де він мешкає, космонавт і корабель пройдуть до зустрічі відстані, що даються формулами. Для справедливості подібних міркувань принципово важливо використовувати інерційну систему відліку. Якби тут ми необачно зв'язали систему відліку з космічним кораблем, то прийшли б до висновку, що при підтягуванні космонавта центр мас системи починає рухатися під час відсутності зовнішніх сил: він наближається до корабля. Центр мас зберігає свою швидкість тільки щодо інерціальної системи відліку. У рівняння, що визначає прискорення центру мас системи частинок, що не входять діючі в ній внутрішні сили. Чи означає це, що внутрішні сили взагалі ніяк не впливають на рух центру мас? За відсутності зовнішніх сил або коли ці сили постійні, це дійсно так. Наприклад, в однорідному полі тяжіння центр мас розірвався в польоті снаряда продовжує рух по тій же параболі, поки жоден з осколків ще не впав на землю.

Роль внутрішніх сил.

У тих випадках, коли зовнішні сили можуть змінюватися, справа дещо складніша. Зовнішні сили діють не на центр мас, а на окремі частинки системи. Ці сили можуть залежати від положення частинок, а положення кожної частинки при її русі визначається усіма діючими на неї силами, як зовнішніми, так і внутрішніми. Пояснимо це на тому ж простому прикладі снаряда, який розривається в польоті на дрібні осколки під дією внутрішніх сил. Поки все осколки в польоті, центр мас, як уже говорилося, продовжує рух по тій же параболі. Однак як тільки хоча б один з осколків торкнеться землі і його рух припиниться, додасться нова зовнішня сила - сила реакції поверхні землі, що діє на впав уламок. В результаті зміниться прискорення центру мас, і він вже не буде рухатися за колишньою параболі. Сама поява цієї сили реакції є наслідком дії внутрішніх сил, що розірвали снаряд. Отже, дія внутрішніх сил в момент розриву снаряда може привести до зміни прискорення, з яким буде рухатися центр мас в більш пізні моменти часу і, отже, до зміни його траєкторії. Наведемо ще більш яскравий приклад впливу внутрішніх сил на рух центру мас. Уявімо собі, що супутник Землі, що обертається навколо неї по круговій орбіті, під дією внутрішніх сил розділяється на дві половини. Одна з половин зупиняється і починає прямовисно падати на Землю. Згідно із законом збереження імпульсу друга половина повинна в цей момент вдвічі збільшити свою швидкість, спрямовану по дотичній до окружності. Як ми побачимо нижче, при такій швидкості ця половина полетить від Землі на нескінченно велику відстань. Отже, і центр мас супутника, т. З. двох його половин, також піде на нескінченно велику відстань від Землі. І причина тому - дія внутрішніх сил при поділі супутника на дві частини, тому що в противному випадку розділився на частини супутник продовжував би рух по круговій орбіті.

Реактивний рух.

Закон збереження імпульсу замкнутої системи дозволяє легко пояснити принцип реактивного руху. При спалюванні палива підвищується температура і в камері згоряння створиться високий тиск, завдяки чому утворилися гази з великою швидкістю вириваються із сопла двигуна ракети. За відсутності зовнішніх полів повний імпульс ракети і вилітають з сопла газів залишається незмінним. Тому при витіканні газів ракета набирає швидкість у протилежному напрямку.

Рівняння Мещерського.

Отримаємо рівняння, що описує рух ракети. Нехай в деякий момент часу ракета в якийсь інерційній системі відліку має швидкість. Введемо іншу інерційну систему відліку, в якій в даний момент часу ракета нерухома. Назвемо таку систему відліку супутньої. Якщо працюючий двигун ракети за проміжок викидає гази маси зі швидкістю щодо ракети, то через деякий час швидкість ракети в цій супутньої системі буде відмінна від нуля і дорівнює. Застосуємо до даної замкнутої фізичної системи ракета плюс гази закон збереження імпульсу. У початковий момент в супутньої системі відліку ракета і гази спочивають, тому повний імпульс дорівнює нулю. Через деякий час імпульс ракети дорівнює, а імпульс викинутих газів. Повна маса системи ракета плюс гази зберігається, тому маса викинутих газів дорівнює убутку маси ракети. Тепер рівняння після поділу на проміжок часу переписується у вигляді Переходячи до межі, отримуємо рівняння руху тіла змінної маси (ракети) за відсутності зовнішніх сил. Рівняння має вигляд другого закону Ньютона, якщо його праву частину розглядати як реактивну силу, з якою діють на ракету вилітають з ніс гази. Маса ракети тут не постійна, а зменшується з часом через втрату речовини,. Тому реактивна сила спрямована в бік, протилежний швидкості вилітають з сопла газів щодо ракети. Видно, що ця сила тим більше, чим більша швидкість витоку газів і чим вище витрата палива в одиницю часу. Рівняння отримано в певній інерціальній системі відліку супутньої системі. Внаслідок принципу відносності воно справедливо і в будь-який іншій інерціальній системі відліку. Якщо, крім реактивної сили, на ракету діють і будь-які інші зовнішні сили, наприклад сила тяжіння і сила опору повітря, то їх слід додати в праву частину рівняння. Це рівняння вперше було отримано Мещерским і носить його ім'я. При заданому режимі роботи двигуна, коли маса являє собою певну відому функцію часу, рівняння Мещерського дозволяє розрахувати швидкість ракети в будь-який момент часу.

�� Які фізичні міркування свідчать про доцільність визначення центру мас за допомогою формули?

�� В якому сенсі центр мас характеризує рух системи частинок як цілого?

�� Про що говорить закон руху центру мас системи взаємодіючих тіл? Чи впливають внутрішні сили на прискорення центру мас?

�� Чи можуть внутрішні сили впливати на траєкторію центру мас системи?

• У задачі про розрив снаряда, розглянутої в попередньому параграфі, закон руху центру мас дозволяє відразу знайти дальність польоту другого осколка, якщо його початкова швидкість горизонтальна. Як це зробити? Чому ці міркування не застосовуються в разі, коли його початкова швидкість має вертикальну складову?

• В процесі розгону ракети се двигун працює в постійному режимі, так що відносна швидкість витікання газів і витрата палива в одиницю часу незмінні. Чи буде при цьому прискорення ракети постійним?

• Виведіть рівняння Мещерського, використовуючи замість супутньої системи відліку інерційну систему, в якій ракета вже має швидкість.

Формула Ціолковського.

Припустимо, що розгін ракети відбувається у вільному просторі, де на неї не діють зовнішні сили. У міру формування палива маса ракети зменшується. Знайдемо залежність між масою витраченого палива і набраної ракетою швидкістю. Після включення двигуна спокою ракета починає набирати швидкість, рухаючись по прямій лінії. Спроектувавши векторне рівняння на напрямок руху ракети, отримаємо Будемо в рівнянні розглядати масу ракети як функцію набраної ракетою швидкості. Тоді швидкість зміни маси з часом можна представити таким чином Підставляючи це співвідношення в рівняння, отримуємо Припустимо, що швидкість витікання газів незмінна, що досить точно виконується в сучасних ракетах. У цьому випадку рівняння дозволяє легко знайти масу ракети як функцію її швидкості. Справді, згідно похідна шуканої функції пропорційна самої функції. Таку властивість має тільки експоненціальна функція. Тому рішення рівняння при постійній швидкості витікання має вигляд Значення постійної З визначається з початкової умови при маса ракети дорівнює початковій масі. Таким чином, маса ракети в той момент, коли її швидкість дорівнює, дається формулою яка називається формулою Ціолковського.

Паливо для космічних польотів.

Формула Ціолковського дозволяє розрахувати запас палива, який необхідний для повідомлення ракеті певної кінцевої швидкості. Згідно відношення початкової маси ракети до її кінцевої масі одно і буде тим менше, чим більша швидкість витоку газів. В сучасних ракетах на хімічному паливі швидкість газового струменя становить. Припустимо, що ракеті потрібно повідомити першу космічну швидкість, таку швидкість, при якій її корисне навантаження може стати штучним супутником Землі. Ця швидкість дорівнює приблизно. При швидкості витікання формула Ціолковського дає практично вся початкова маса ракети доводиться на паливо. При відношення становить уже, але і в цьому випадку запас палива повинен перевершувати масу виведеного космічного апарату в кілька разів. Технічні труднощі, пов'язані з досягненням космічних швидкостей, долаються за допомогою багатоступеневих ракет, ідея яких належить Ціолковського. Коли масивна перша ступінь ракети - бустер вичерпає запас палива, вона відокремлюється, для того щоб не доводилося розганяти далі вже непотрібні порожні баки з-під пального і відпрацювали двигуни. Другий ступінь додає до раніше досягнутої швидкості ще деяку швидкість, а потім відділяється. Для міжзоряних польотів космічних кораблів необхідні значно вищі швидкості. Найближчі до нас зірки знаходяться на відстані близько чотирьох світлових років. Тому для експедиції прийнятною тривалості необхідні швидкості не менше швидкості світла с. Формула Ціолковського показує, що для досягнення таких швидкостей ракети на хімічному паливі абсолютно непридатні. Якщо навіть допустити, що швидкість газового струменя уотн вдасться довести до, то при з відношення складе, що дорівнює приблизно. При корисною масі т всього лише в одну тонну стартова маса ракети повинна становити тонн. Ця величина перевершує всяку уяву. Для порівняння зазначимо, що маса нашої Галактики дорівнює «всього лише» тонн.

�� Чи залежить набрана ракетою швидкість після вироблення всього палива від того, за який час воно було витрачено?

• Чому неможливо здійснення міжзоряного космічного експедиції з використанням традиційних ракетних двигунів на хімічному паливі?