10.1. Дослідження рівноважного теплового випромінювання

Всі нагріті тіла випромінюють електромагнітні хвилі. Це випромінювання здійснюється за рахунок перетворення енергії теплового руху частинок тіла в енергію випромінювання і називається тепловим. Якщо спад енергії, що буря випромінюванням, поповнювати повідомленням тілу відповідної кількості тепла, то випромінювання можна підтримувати незмінним.

Теплове випромінювання є єдиним видом випромінювання, яке може перебувати в рівновазі з тілом, його випромінюючи. Припустимо, що випромінює нагріте тіло оточене ідеально відображає, непроникною для випромінювання оболонкою. Тоді випромінювання, що випускається тілом, не розсіюється по всьому простору, а, відбиваючись стінками, зберігається в межах порожнини, падаючи знову на яке випромінює тіло і в більшій чи меншій мірі знову їм поглинається. В таких умовах ніякої втрати енергії наша система - випромінює тіло і випромінювання - не відчуває. Енергія системи частково міститься у вигляді енергії випромінювання (електромагнітних хвиль), частково у вигляді внутрішньої енергії випромінюючого тіла. Якщо з плином часу розподіл енергії між тілом і випромінюванням не змінюється, то стан системи буде рівноважним. Ця рівновага має динамічний характер, т. К. Безперервно йде процес випромінювання і поглинання променевої енергії, але так, що в одиницю часу тіло стільки ж випромінює енергії, скільки і поглинає.

Якщо ж в таку замкнуту адіабатне оболонку помістити тіла різної температури, то після закінчення досить великого проміжку часу між матеріальними тілами в порожнині і випромінюванням в порожнині встановиться термодинамічна рівновага. Всі тіла будуть мати однакову температуру Т, а випромінювання порожнини буде рівноважним. Це теплове або рівноважне випромінювання підпорядковується певним загальним закономірностям, що випливають з принципів термодинаміки.

З другого закону термодинаміки випливає, наприклад, що рівноважний випромінювання не залежить від матеріалу тіл, що утворюють замкнену термодинамічно рівноважну систему. Це означає, що щільність енергії випромінювання, її розподіл по спектру частот і напрямків поширення, а також поляризація випромінювання не залежить від властивостей і природи тіл, що знаходяться в порожнині, і від властивостей і природи стінок порожнини. Рівноважний теплове випромінювання изотропно і не поляризоване: всі можливі напрямки поширення випромінювання представлені з однаковою ймовірністю, а напрями векторів З другого закону термодинаміки випливає, наприклад, що рівноважний випромінювання не залежить від матеріалу тіл, що утворюють замкнену термодинамічно рівноважну систему і в кожній точці простору хаотично змінюються в часі.

Оскільки випромінювання знаходиться в тепловій рівновазі з тілами, що знаходяться в порожнині, то можна говорити про температуру не тільки тіл, але і про температуру самого випромінювання. Введемо деякі величини, що характеризують рівноважний випромінювання в порожнині. Позначимо через UT об'ємну щільність енергії випромінювання, т. Е. Кількість такої енергії в одиниці об'єму простору. Так як вона певним чином розподілена по спектру частот, то має сенс ввести поняття спектральної щільності енергії рівноважного випромінювання U W, Т, яка буде характеризувати енергію одиниці об'єму електромагнітного поля, розподілену в одиничному інтервалі частот або довжин хвиль. Тоді об'ємну щільність енергії можна представити у вигляді:

(1) . (1)

Величини U W, T D W і U L, T D L мають сенс об'ємної щільності енергії випромінювання, що припадає на інтервал частот U W, T і U L, T є спектральними плотностями об'ємної щільності енергії випромінювання. Якщо мова йде про одне й те ж спектральному інтервалі, представленому в різних формах, то U W, T D W = U L, T D L. При цьому l = 2p С / w, отже, D L / l = D W / W. Опускаючи знак мінус, який вказує, що зі зростанням частоти довжина хвилі зменшується, можна написати:

У теоретичній фізиці зазвичай користуються величиною U W, T, в експериментальній віддають перевагу U L, T. Надалі ми будемо вести мову тільки про частотної залежності функції U W, T.

Твердження про те, що спектральна щільність енергії рівноважного випромінювання U W, T залежить тільки від частоти і від температури, але не залежить від властивостей і природи тіл, що знаходяться в порожнині, а також від природи і властивостей стінок порожнини носить назву Першого закону Кірхгофа.

Для характеристики випромінюючих тіл вводяться поняття Енергетичної світності, що випускає і поглощательной здібностей.

Енергетичної світність (Інтегральною іспускательной здатністю) тіла називається фізична величина ET, чисельно дорівнює енергії електромагнітних хвиль всіляких частот (або довжин хвиль), що випромінюються за одиницю часу з одиниці площі поверхні тіла.

Іспускательной здатністю або спектральної щільністю енергетичної світності тіла називається фізична величина, чисельно рівна відношенню енергії DW, що випромінюється за одиницю часу з одиниці площі поверхні тіла за допомогою електромагнітних хвиль у вузькому інтервалі частот від w до w + D W (або довжин хвиль у вакуумі від lДо l + D L), до ширини цього інтервалу:

; , (2) ; , (2)

Де С - швидкість світла у вакуумі. Значення E W, T (E L, T) залежать від частоти (довжини хвилі), температури, хімічного складу тіла і стану його поверхні.

Енергетична світність тіла пов'язана c E W, T і E L, T Співвідношенням:

(3) . (3)

Поглощательной здатністю (монохроматичним коефіцієнтом поглинання) тіла називається безрозмірна величина А W, T, що показує, яка частка енергії електромагнітних хвиль з частотами від w до w + D W, падаючих на поверхню тіла, поглинається їм:

Значення А W, T залежить від частоти, температури, хімічного складу тіла і стану його поверхні.

Абсолютно чорним називається тіло, яке повністю поглинає все падаюче на нього випромінювання незалежно від напрямку падаючого випромінювання, його спектрального складу і поляризації, так що для нього А W, T º 1.

Абсолютно чорних тіл в природі не існує. Найкращим наближенням до абсолютно чорного тіла є замкнута порожнина, в непрозорій стінці якої зроблено малий отвір. Світло, що потрапляє всередину порожнини через отвір, зазнає багатократних віддзеркалень від стінок і практично повністю поглинається стінками порожнини незалежно від їх матеріалу. Якщо стінки порожнини підтримувати при постійній температурі, то при досить малих розмірах отвору в порожнині встановиться випромінювання, дуже мало відрізняється від рівноважного. Тому рівноважний випромінювання часто називають чорним випромінюванням. Через отвір буде виходити практично таке ж випромінювання, яке що випускаються б абсолютно чорної майданчиком тієї ж форми і розмірів. Іспускательной здатність абсолютно чорного тіла позначається далі ew, T (або el, T), а його енергетична світність e T.

Сірим називається тіло, поглинальна здатність якого менше одиниці і не залежить від частоти (довжини хвилі) світла, напрямки його поширення та поляризації, а залежить тільки від температури тіла.

Згідно з другим законом Кірхгофа, ставлення іспускательной здатності тіла до його поглинальної здатності не залежить від природи тіла і дорівнює іспускательной здатності абсолютно чорного тіла ew, T при тих же значеннях температури і частоти:

(4) . (4)

Із закону Кірхгофа випливає, що іспускательной здатність тіла тим більше, чим більше його поглинальна здатність. А так як величина А W, T не може бути більше одиниці, то з усіх тіл при одній і тій же температурі абсолютно чорного тіла володіє найбільшою іспускательной здатністю. Крім того, будь-яке тіло при даній температурі випромінює переважно промені таких довжин хвиль, які воно при тій же температурі найсильніше поглинає.

Використовуючи закон Кірхгофа, можна написати, що енергетична світність тіла дорівнює

Зокрема, енергетична світність сірого тіла:

де

- енергетична світність абсолютно чорного тіла при тій же температурі. Для Несері тіла у вузькому інтервалі температур також можна наближено написати:

, (5) , (5)

Де a - інтегральна ступінь чорноти тіла, яка залежить від матеріалу тіла, стану його поверхні і температури. Для всіх тіл, крім абсолютно чорного a <1.

Іспускательной здатність абсолютно чорного тіла ew, T пов'язана зі спектральної щільністю рівноважного випромінювання U W, T певним співвідношенням. Підрахуємо потік енергії, що падає на одиничну площадку, розташовану всередині замкнутої порожнини c ідеально відбивають стінками, заповненої рівноважним випромінюванням з середньою щільністю U W, T. Нехай випромінювання падає на цей майданчик в напрямку, який визначається кутами q і j в межах тілесного кута D W. Так як рівноважне випромінювання розподілено изотропно, то в даному тілесному куті поширюється частка рівна

D W / 4p від всієї енергії, що заповнює порожнину. Потік електромагнітної енергії, що проходить через перпендикулярну напрямку руху потоку енергії одиничну площадку в одиницю часу, запишеться так:

Підставляючи в отримане вираз значення тілесного кута D W = sinq D Q D J і інтегруючи по j в межах (0, 2p) і по q в межах (0, p / 2), отримаємо повний потік енергії, що падає на одиничну площадку:

В умовах рівноваги треба прирівняти цей повний потік іспускательной здатності абсолютно чорного тіла ew, T, що характеризує потік енергії, що випромінюється одиничної майданчиком в одиничному інтервалі частот поблизу w, т. Е.

(6) . (6)

Отже, закон Кірхгофа в загальному вигляді можна записати так:

(7) . (7)

Звідси випливає, що в стані рівноваги поглинається в одиницю часу ділянкою поверхні енергія випромінювання повинна дорівнювати енергії, випромінюваної в той же проміжок часу тим же ділянкою поверхні. Знаючи універсальну функцій U W, T можна по поглинальної здатності визначити спектральну щільність енергетичної світності.

Завдання знаходження універсальної функції U W, T звелася до визначення закону випромінювання абсолютно чорного тіла. Випромінювання, що виходить з отвору в оболонці порожнини, стінки якої підтримуються при постійній температурі з досить великою точністю може розглядатися як випромінювання абсолютно чорного тіла. Його випромінювання дозволяє знайти ew, T і за допомогою (6) обчислити U W, T.

Класична фізика виявилася не в змозі пояснити теоретично вид функції U W, T, що визначається на підставі експерименту. Граничні випадки U W, T при досить малих і досить великих частотах були теоретично обгрунтовані формулами Релея-Джинса і Вина. Загальна формула була знайдена Планком. Вона поклала початок розвитку квантової теорії.

В рамках класичної фізики до рівноважного випромінювання в порожнині застосовується один з основних законів класичної статистичної фізики - теорема про рівномірний розподіл енергії за ступенями свободи. Т. о., Завдання про знаходження виду функції U W, T зводиться до визначення числа ступенів свободи в порожнині. Оскільки рівноважний випромінювання в порожнині не залежить від її форми, матеріалу стінок, то можна припустити, що порожнина має форму куба з ребром L, а рівноважне випромінювання в такий порожнини можна розглядати як систему стоячих електромагнітних хвиль. Стояча хвиля може виникнути лише в тому випадку, якщо хвиля, що біжить після відображення від двох протилежних граней куба і проходження шляху 2 L, повертається у вихідну точку з фазою, що відрізняється від початкової на 2p N,, де N = 1,2 ... ціле число. Без обмеження спільності, можна вважати, що дворазове відображення від граней або не вносить в фазу хвилі будь-яких змін, або змінює фазу на 2p. Тому умова освіти стоячих хвиль в кожному з вимірів куба має вигляд:

, , , , , ,

Де Nx, Ny, Nz - цілі числа.

Число хвиль DN, хвильові числа яких укладені між (Kx, Kx + Dkx), (Ky, Ky + Dky), (Kz, Kz + Dkz) дорівнює числу цілих чисел, укладених в інтервалі (Nx, Nx + Dnx), (Ny , Ny + Dny), (Nz, Nz + Dnz) тому

DN = Dnxdnydnz = (L / p) 3 Dkxdkydkz. (8)

Розрахунок зручно вести в сферичних координатах, вважаючи, що по осях декартової системи координат відкладені Kx, Ky, Kz. Представляючи в сферичних координатах об'єм елемента як обсяг кульового шару радіусом K і товщиною Dk і вважаючи числа Dkx, Dky, Dkz позитивними, т. Е. Розглядаючи тільки 1/8 шару, вираз (8) можна переписати так:

З огляду на, що K = w / C, знаходимо концентрацію стоячих хвиль:

Оскільки електромагнітна хвиля володіє двома можливими поляризациями, то повна концентрація стоячих хвиль в два рази більше і дорівнює:

Кожна з стоячих хвиль називається Модою коливань, а число мод дорівнює числу ступенів свободи системи. Якщо <e> є середньою енергією, що припадає па одну ступінь свободи, то щільність енергії стоячих хвиль дорівнює:

(9) . (9)